Différentes écritures d'un nombre complexe

D'après bac STI2D, mars 2023, La Réunion.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((\text{O}~;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\). Le point \(\text{M}\) d’affixe \(z_\text{M}\) vérifie les conditions suivantes :

• \(\text{M}\) appartient au cercle de centre \(\text{O}\) et de rayon \(6\) ;
  
• la partie réelle de \(z_\text{M}\) est négative ;
  
• la partie imaginaire de \(z_\text{M}\) est égale à \(3\).
  

1. Soit \(\theta\) la mesure dans \([0~;2\pi[\) de l’argument du nombre complexe \(z_\text{M}\). Déterminer \(\text{sin}(\theta)\).
2. À l’aide du demi-cercle trigonométrique ci-dessous, donner la valeur exacte de \(\theta\). Justifier.

3. En déduire l’écriture exponentielle de \(z_\text{M}\).